Introduction aux Mathématiques
Cette section présente le programme complet de mathématiques pour le concours Geipi Polytech. Vous y trouverez des cours détaillés et des exemples sur l’algèbre, l’analyse, la géométrie, les probabilités et bien plus encore.
Combinatoire et Dénombrement
On étudie ici les principes additif et multiplicatif, le calcul de la factorielle, des combinaisons et des permutations.
Exemple : Calcul de \(\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10\).
Vecteurs et Géométrie dans l'Espace
Un vecteur \(\vec{v} = (v_x,v_y,v_z)\) dans \(\mathbb{R}^3\) possède une norme \(\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\).
Une droite passant par un point \(A(x_A,y_A,z_A)\) avec vecteur directeur \(\vec{v}=(a,b,c)\) s'exprime par :
\[
\begin{cases}
x=x_A+at,\\[1mm]
y=y_A+bt,\\[1mm]
z=z_A+ct.
\end{cases}
\]
Analyse : Fonctions, Limites et Continuité
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
La dérivation se définit par :
\[
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Exemple : Pour \(f(x)=x^2\sin(x)\), la dérivée est \(f'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)\).
Suites, Convergence et Limites
Une suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que \(n\geq N\) implique \(|u_n-\ell|<\varepsilon\).
Par exemple, \(u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) converge vers \(e\).
Exemple : L'inégalité de Bernoulli \((1+a)^n\ge1+na\) pour \(a>0\).
Dérivation des Fonctions
Règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne).
Par exemple, pour \(f(x)=x^2e^x\), on a :
\[
f'(x)=2xe^x+x^2e^x.
\]
Exemple : \(\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}\).
Intégration et Calcul d'Aire
L'intégrale \(\int_a^b f(x)\,dx\) représente l'aire sous la courbe de \(f\) sur l'intervalle \([a,b]\).
On utilise l'intégration par parties : \(\displaystyle \int u\,dv = uv-\int v\,du\).
Exemple : Pour \(f(x)=xe^x\), en posant \(u=x\) et \(dv=e^x\,dx\), on obtient :
\(\displaystyle \int xe^x\,dx = xe^x-e^x+C.\)
Probabilités et Statistiques
Étude du schéma de Bernoulli, loi binomiale, espérance et variance.
Pour \(n\) épreuves de succès de probabilité \(p\), on a :
\[
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.
\]
Exemple : Pour \(n=10\) et \(p=0.5\), \(P(X=5)\approx 0.246\).
Algorithmique et Programmation
Mise en œuvre d'algorithmes pour résoudre des problèmes mathématiques.
def factorial(n):
if n <= 1:
return 1
else:
return n * factorial(n-1)
Logique et Ensembles
Notions de base sur les ensembles, appartenance, intersections, unions et démonstrations par récurrence.
Exemple : Montrer que \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).
Limites Avancées et Comparaisons
Étude des limites de fonctions complexes et application du théorème des gendarmes.
Exemple : \(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Suites Géométriques
Une suite géométrique est de la forme \(u_n=u_0\cdot q^n\).
Si \(|q|<1\), alors \(\lim_{n\to\infty}u_n=0\).
Continuité et TVI
Une fonction continue sur \([a,b]\) prend toutes les valeurs entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
Exemple : Si \(f(1)=-2\) et \(f(3)=4\), alors pour tout \(k\in[-2,4]\) il existe \(c\in[1,3]\) tel que \(f(c)=k\).
Logarithme & Exponentielle
Étude de \(e^x\) et de sa fonction réciproque \(\ln(x)\).
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}\) et \(\frac{d}{dx}e^x=e^x\).
Trigonométrie
Étude des fonctions sinus et cosinus : périodicité, parité et dérivation.
Par exemple, \(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\) et \(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\).
Équations Différentielles
Résolution des équations linéaires du type \(y' = ay+b\).
La solution générale de \(y'=2y\) est \(y(x)=Ce^{2x}\).
Calcul Intégral Avancé
Approfondissement des techniques d'intégration, notamment l'intégration par parties et le changement de variable.
Exemple : \(\displaystyle \int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x+C\).
Applications et QCM
Cette partie regroupe les questions types du QCM : calcul mental, géométrie analytique, résolution d’équations et statistiques.
Exemple : \(15\times 12 = 150 + 30 = 180\).